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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在点(1,f(1))处切线的斜率为10,当x=6时,函数f(x)有极值36.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)若直线l1,l2过点(s,t)且于函数y=f(x)的图象相切,切点坐标分别为A,B,求证直线x=s平分线段AB;
(Ⅲ)若g(x)=10lnx+m,试问:是否存在实数m,使得y=f(x)的图象于y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由已知可得
f′(1)=2a+b=10
f(6)=36a+6b+c=36
f′(6)=12a+b=0
,解之得
a=-1
b=12
c=0

(Ⅱ)设切点为M(X,Y),则过点M的切线方程为y-Y=(-2x+12)(x-X),又该切线过点(s,t),则得t+X2-12X=(-2X+12)(s-X),
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点坐标为(x0,y0),则x1,x2是X2-2sX+12s-t=0的两个根,∴x0=
x1+x2
2
=
2s
2
=s
,故直线x=s平分线段AB;
(Ⅲ)令φ(x)=g(x)-f(x)=x2-12x+10lnx+m,则问题等价于函数y=φ(x)的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点,
得到φ′(x)=2x-12+
10
x
=
2x2-12x+10
x
=
2(x-1)(x-5)
x
,(x>0)进而得到φ(x)的极大值为φ(1)=m-11;φ(x)的极小值为φ(5)=m+10ln5-35
由题意知,要使φ(x)=0有且仅有两个不同的正根,必须且只须φ(1)=m-11=0或φ(5)=m+10ln5-35=0,解出m即可.
解答:解:(Ⅰ)由已知可得
f′(1)=2a+b=10
f(6)=36a+6b+c=36
f′(6)=12a+b=0
解之得
a=-1
b=12
c=0

∴函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+12x.…(4分)
(Ⅱ)设切点为M(X,Y),则Y=-X2+12X.
点M处切线的斜率为f'(x)=-2x+12,
过点M的切线方程为y-Y=(-2x+12)(x-X),…(6分)
又该切线过点(s,t),∴t-Y=(-2x+12)(s-X),
即t+X2-12X=(-2X+12)(s-X),
整理可得X2-2sX+12s-t=0,….(8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点坐标为(x0,y0),
则x1,x2是X2-2sX+12s-t=0的两个根,∴x0=
x1+x2
2
=
2s
2
=s
,故直线x=s平分线段AB.…(10分)
(Ⅲ)令φ(x)=g(x)-f(x)=x2-12x+10lnx+m
因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数y=φ(x)的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点,
φ′(x)=2x-12+
10
x
=
2x2-12x+10
x
=
2(x-1)(x-5)
x
,(x>0)…(12分)
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,5)时,φ'(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(5,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1或x=5时,φ'(x)=0
∴φ(x)的极大值为φ(1)=m-11;φ(x)的极小值为φ(5)=m+10ln5-35.…(14分)
又因为当x→0时,φ(x)→-∞;当x→+∞时,φ(x)→+∞.
所以要使φ(x)=0有且仅有两个不同的正根,必须且只须φ(1)=m-11=0或φ(5)=m+10ln5-35=0
解得m=11或m=35-10ln5.
∴当m=11或m=35-10ln5时,函数f(x)与函数g(x)的图象
有且只有两个不同的交点…(16分)
点评:本题综合考查了极值的意义,导数与函数单调性间的关系,分类讨论的思想方法,属于中档题.
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