Question

探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在

[2，+∞）

上递增；
（2）当x=

2

时，f(x)=x+

4

x

，（x＞0）的最小值为

4

；
（3）试用定义证明f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在区间（0，2）上递减；
（4）函数f(x)=x+

4

x

，（x＜0）有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？

Answer 1

分析：（1）观察表格即可得到结论；
（2）观察表格可得到x=2时满足题意；
（3）可以利用单调性的定义进行证明：①设0＜x₁＜x₂＜2，②f（x₁）-f（x₂），③整理化简，判断符号即可；
（4）利用函数f(x)=x+

4

x

的奇偶性与单调性即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…
故函数f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在区间（2，+∞）（左端点可以闭）递增；
 （2）由表格可知，x=2时，y_min=4 （4分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜2，则
f（x₁）-f（x₂）=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)
=(x1-x2)+

4x2-4x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴

4

x1x2

＞1∴1-

4

x1x2

＜0
∴(x1-x2)(1-

4

x1x2

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵f(x)=x+

4

x

为奇函数，∴当x=-2时有最大值-4．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查学生观察、分析及用单调性的定义进行证明问题的能力，属于中档题．