Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A为原点，分别以直线AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．
（Ⅱ）求出平面AEF的一个法向量和平面C₁EF的一个法向量，利用向量法能求出二面角C₁-EF-A的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）以A为原点，分别以直线AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，且DF=x，
则A₁（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），
D（0，1，0），B₁（1，0，1），D₁（0，1，1），
E（1，

1

2

，0），F（x，1，0），

D1E

=（1，-

1

2

，-1），

AB1

=（1，0，1），

AF

=（x，1，0），
由D₁E⊥面AB₁F，得

D1E

⊥

AB1

，且

D1E

⊥

AF

，
∴

D1E • AB1 =1+0+1=0 D1E • AF =x- 1 2 +0=0

，解得x=

1

2

，
所以当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，
F是CD的中点，F（

1

2

，1，0）
由正方体的结构特征可得：平面AEF的一个法向量为

m

=（0，0，1），
设平面C₁EF的一个法向量为

n

=（x，y，z），
在平面C₁EF中，

EC1

=（0，

1

2

，1），

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），
∴

EC1 • n = 1 2 y+z=0 EF • n =- 1 2 x+ 1 2 y=0

，
取x=2，得平面C₁EF的一个法向量为

n

=（2，2，-1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1

3

=-

1

3

，
∴二面角C₁-EF-A的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查使线面垂直的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．