Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），

且关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，

∴△=（a+1）2﹣4≤0，

解得﹣3≤a≤1，

∴实数a的取值范围是﹣3≤a≤1

（2）解：∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是P，

集合Q={x|0≤x≤1}，当 P∩Q=时，

即不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立；

∴x∈[0，1]时，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，

∴a+1＜x+ 对于x∈（0，1]时恒成立；

∴a+1＜2，

即a＜1，

∴实数a的取值范围是a＜1

【解析】（1）应用一元二次不等式恒成立时判别式△≤0，求出a的取值范围；（2）问题转化为不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立，由此求出a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．