【题目】已知函数f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+
(ω>0),经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
x | ① |
| |||
f(x) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
(1)请直接写出①处应填的值,并求函数f(x)在区间上的值域;
(2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A+)=1,b+c=4,a=
,求△ABC的面积.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)把函数利用二倍角公式和两角差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式即
的形式,然后由“五点法”,即令
分别为
可得五点,得图象,利用已知表格数据可求得
,再由正弦函数的性质可得值域;
(2)由及(1)可得
,由余弦定理可得
的方程,结合
可解得
的值,从而得三角形面积.
试题解析:(1)①处应填入.
f(x)=sin2ωx-
=sin2ωx-
cos2ωx
=.
因为,
所以,所以ω=
即f(x)=.
因为,
所以-≤x-
≤
,
所以-1≤sin≤
,
故f(x)的值域为.
(2)f(A+)=sin
=1,
因为0<A<π,
所以<A+
<
,
所以A+=
,所以A=
.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA
=(b+c)2-2bc-2bccos
=(b+c)2-3bc,
即()2=42-3bc,所以bc=3,
所以△ABC的面积S=bcsinA
=.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上一点,且PC=3PN.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)求点M到平面PAN的距离.
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【题目】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆
相交于
两点,点
关于原点的对称点为
,若点
总在以线段
为直径的圆内,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆E: ,其焦点为F1,F2,离心率为
,直线l:x+2y-2=0与x轴,y轴分别交于点A,B,
(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,C1的参数方程为 (t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,C2的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0.
(Ⅰ)说明C2是哪种曲线,并将C2的方程化为普通方程;
(Ⅱ)C1与C2有两个公共点A,B,定点P的极坐标,求线段AB的长及定点P到A,B两点的距离之积.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,以原点
为圆心,椭圆
的长半轴为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,
为动直线
与椭圆
的两个交点,问:在
轴上是否存在点
,使
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一张A4纸的长宽之比为,
分别为
,
的中点.现分别将△
,△
沿
,
折起,且
,
在平面
同侧,下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的序号)
①,
,
,
四点共面;
②当平面平面
时,
平面
;
③当,
重合于点
时,平面
平面
;
④当,
重合于点
时,设平面
平面
,则
平面
.
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【题目】已知椭圆C: 的左、右焦点为F1,F2,设点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A,B,P为椭圆C上三点,满足,记线段AB中点Q的轨迹为E,若直线l:y=x+1与轨迹E交于M,N两点,求|MN|.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,,AC=AD=CD,E是AD的中点.
(Ⅰ)证明CE∥平面PAB;
(Ⅱ)证明:平面PAD⊥平面PCE.
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