Question

关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是

①②④

①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称
③y=f（x）的最大值是

3

2

；         ④f（x）即是奇函数，又是周期函数．

Answer 1

分析：①根据中心对称的定义，验证f（2π-x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；
②根据轴对称的条件，验证f（π-x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
③可将函数解析式换为f（x）=2sinx-2sin³x，再换元为y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
④利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．

解答：解：①∵f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=

π

2

对称，故②正确；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=g（t）=2t-2t³，t∈[-1，1]，
则y′=2-6t²，令y′＞0解得-

3

3

＜t＜

3

3

，
故y=2t-2t³，在[-

3

3

，

3

3

]上递增，在[-1，-

3

3

]和[

3

3

，1]上递减，又g（-1）=0，g（

3

3

）=

4 3

9

，故函数的最大值为

4 3

9

，∴③错误；
④∵f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数
，∴④正确．
综上知，说法中正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查与函数有关的性质的判断，要求熟练掌握中心对称，轴对称性成立的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强．