Question

已知A（2，0），B（0，1）为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的两点，P（x，y）为椭圆C上的动点，O为坐标原点．
（ I）求椭圆C的方程；
（ II）将|OP|表示为x的函数，并求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题设中的两个交点可知，两点为椭圆与坐标轴的交点，即上顶点和右顶点，进而可求得椭圆方程中的a和b，则椭圆的标准方程可得．
（II）由点P（x，y）在椭圆C上，可得

x2

4

+y2=1，且0≤x²≤4，利用两点间的距离公式将|OP|表示为x的函数，最后利用二次函数的性质即可求出其范围．

解答：解：（ I）由题意可知 a=2，b=1，---------（2分）
所以，椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．---------（4分）
（ II）由点P（x，y）在椭圆C上，可得

x2

4

+y2=1，且0≤x²≤4．---------（6分）
|OP|=

x2+y2

=

x2+1- x2 4

=

1+ 3x2 4

，--------（8分）
因为0≤

3x2

4

≤3，可得1≤1+

3x2

4

≤4，所以1≤|OP|≤2，
故|OP|的取值范围为[1，2]．---------（10分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，考查函数的思想．属于中档题．