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精英家教网如图,在△ABC中,已知A(-
2
,0),B(
2
,0),CD⊥AB于D,△ABC的垂心为H,且
CD
=2
CH

(Ⅰ)求点H的轨迹方程;
(Ⅱ)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G,H(点G在F,H之间),且满足
FG
FH
,求λ的取值范围.
分析:(Ⅰ)设点H的坐标为(x,y),C点坐标为(x,m),则D(x,0),
CD
=(0,-m),
CH
=(0,y-m),
CD
=2
CH
,m=2y,故C点为(x,2y),由此能求出点H的轨迹方程.
(Ⅱ)直线GH斜率存在时,设G(x1,y1),H(x2,y2),
FG
FH
,(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2),x1=λx2,x1+x2=(1+λ)x2,x1x2=λx22,由此知
1
3
<λ< 3
,由0<λ<1,知
1
3
<λ<1
.当直线GH斜率不存在时,方程为x=0,
FG
=
1
3
FH
,λ=
1
3
,故所求的λ的取值范围是[
1
3
,1)
..
解答:解:(Ⅰ)设点H的坐标为(x,y),C点坐标为(x,m),则D(x,0),
CD
=(0,-m),
CH
=(0,y-m),
CD
=2
CH

∴m=2y,故C点为(x,2y),
AC
BH
=0

(x+
2
,2y)•(x-
2
,y)=0
(2分)
故点H的轨迹方程为
x2
2
+y2=1(y≠0)
.(6分)
(Ⅱ)直线GH斜率存在时,设G(x1,y1),H(x2,y2),
FG
FH

∴(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2),
∴x1=λx2,x1+x2=(1+λ)x2,x1x2=λx22
(
x1+x2
1+λ
)
2
=x22=
x1x2
λ

(
-4k
1
2
+k2
)
2
(1+λ)2
=
3
1
2
+k2
λ
,整理,得
16
3(
1
2k2
+1)
=
(1+λ)2
λ

k2
3
2
,∴4<
16
3
2k2
+3
16
3
,∴4<λ+
1
λ
+2<
16
3

1
3
<λ< 3

又∵0<λ<1,∴
1
3
<λ<1

当直线GH斜率不存在时,方程为x=0,
FG
=
1
3
FH
,λ=
1
3

1
3
≤λ<1

故所求的λ的取值范围是[
1
3
,1)
..
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,提高解题能力和解题时技巧,注意合理地进行等价转化.
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3
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3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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=a
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=b
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如图,在△ABC中,已知
BD
=2
DC
,则
AD
=(  )

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