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已知A(-2,0),B(2,0)为椭圆C的左右顶点,F(1,0)为其右焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率;
(Ⅱ)过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P(不同于A,B),与椭圆在点B处的切线交于点D.当直线l绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.
分析:(1)由已知条件可得a=2,c=1,由a2=b2+c2,求出b,进而求出椭圆C的标准方程及离心率;
(2)先设出直线l的方程,根据题意,表示出D、E的坐标,从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径,再将l的方程与椭圆方程联立,得到交点A、P的坐标关系,因为A点的坐标已知,从而求出点P的坐标,然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可.
解答:解:(Ⅰ)由题意可设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,半焦距为c,
因为A(-2,0)、B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F(1,0)为其右焦点,
所以a=2,c=1.又因为a2=b2+c2,所以b=
a2-c2
=
3

故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
,离心率为
1
2
.(5分)
(Ⅱ)以BD为直径的圆与直线PF相切.精英家教网
证明如下:
由题意可设直线l的方程为y=k(x+2)(k≠0),
则点D坐标为(2,4k),BD中点E的坐标为(2,2k).
y=k(x+2)
x2
4
+
y2
3
=1
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
设点P的坐标为(x0,y0),则-2x0=
16k2-12
3+4k2

所以x0=
6-8k2
3+4k2
y0=k(x0+2)=
12k
3+4k2

因为点F坐标为(1,0),
k=±
1
2
时,点P的坐标为(1,±
3
2
)
,点D的坐标为(2,±2),
直线PF⊥x轴,此时以BD为直径的圆(x-2)2+(y?1)2=1与直线PF相切.
k≠±
1
2
时,则直线PF的斜率kPF=
y0
x0-1
=
4k
1-4k2

所以直线PF的方程为y=
4k
1-4k2
(x-1)

点E到直线PF的距离d=
|
8k
1-4k2
-2k-
4k
1-4k2
|
16k2
(1-4k2)2
+1
=
|
2k+8k3
1-4k2
|
1+4k2
|1-4k2|
=2|k|

又因为|BD|=4|k|所以d=
1
2
|BD|

故以BD为直径的圆与直线PF相切.
综上得,当直线l绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切.(14分)
点评:本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系及直线与圆的位置关系,解题时要认真审题,注意运用方程思想、分类讨论、数形结合等数学思想,同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧.
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3
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x2
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+
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x2
9
+
y2
5
=1  (y≠0)
x2
9
+
y2
5
=1  (y≠0)

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