Question

已知函数f（x）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，g（x）=f′（x）．
（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；
（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；
（III）证明：．

Answer 1

解：
（I）证明：由题设易得g（x）=e^2x-t（e^x-1）+x，g'（x）=2e^2x-te^x+1．又由，且得t＜2e^x+e^-x，
te^x＜2e^2x+1，即g'（x）=2e^2x-te^x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．
（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e^2x-te^x+1＜0，即t＞2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．
（III）设F（t）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，即，
易得．令H（x）=e^x-x，则H'（x）=e^x-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以，
于是对任意的x，t，都有，即．
分析：（1）由已知解出g（x）的值，进而得到g′（x）的值，接下来采用分析证明法来分析，若证g（x）为R上的增函数，只需证2e^2x-te^x+1＞0，即证t＜2e^x+e^-x，又因为2e^x+e^-x≥2，且t＜2，所以即证，再利用综合证明的方法写出来即可．
（2）若证明g（x）在[a，b]上的减函数，只需证明g′（x）＜0，即2e^2x-te^x+1＜0，t＞2e^x+e^-x，因为y=2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上连续，故有最大值，令这个最大值为实数k即可．
（3）已知f（x）含有t，可以把f（x）转换成关于t的一元二次函数F（t））=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，通过配方，易得F（t）≥（e^x-x）²+1，再令H（x）=e^x-x，通过求解H（x）的单调性和最值，可以得到H（x）的最小值为1．就可以得出f（t）≥，即证．
点评：本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．