Question

18．若函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，结合正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$
=$sin2x+2\sqrt{3}（{\frac{1+cos2x}{2}}）-\sqrt{3}$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x$
=$2（{\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x}）$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
则$2sin（2x+\frac{π}{3}）∈[-\sqrt{3}，2]$．
∴函数f（x）的值域为$[-\sqrt{3}，2]$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．