Question

3．光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1．强度分别为a，b的两个光源A，B间的距离为d，在连结两光源的线段AB（不含端点）上有一点P，设PA=x，P点处的“总照度”等于各照度之和．
（I）若a=8，b=1，d=3，求点P的“总照度”I（x）的函数表达式；
（II）在（1）问中，点P在何处总照度最小？

Answer 1

分析 （I）先根据题意先表示出点P受光源A的照度和受光源B的照度再根据光源A与光源B在点P产生相等的照度建立方程，即可求点P的“总照度”I（x）的函数表达式；
（Ⅱ）利用导数先研究函数的极值，然后根据函数的单调性求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，若a=8，b=1，d=3，则点P受光源A的照度为$\frac{8}{{x}^{2}}$，受光源B的照度为$\frac{1}{（3-x）^{2}}$；
点P的“总照度”I（x）=$\frac{8}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（3-x）^{2}}$，（0＜x＜3），
（Ⅱ）I′（x）=-$\frac{16}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{（3-x）^{3}}$=$\frac{18（x-2）（{x}^{2}-6x+12）}{{x}^{3}（3-x）^{3}}$，
令I′（x）=0，解得：x=2，
列表：

x	（0，2）	2	（（2，3）
I′（x）	-	0	+
I（x）	减	极小值	增

因此，当x=2时，总照度最小．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了函数的最值的求解，导数法求函数最值是常用的方法，属于中档题．