Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+cosx，x≥0}\\{x（a-x），x＜0}\end{array}\right.$若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（-∞，$\frac{π}{2}$），则实数a的取值范围是a＞-2$\sqrt{π}$．

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+cosx，x≥0}\\{x（a-x），x＜0}\end{array}\right.$若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（-∞，$\frac{π}{2}$），则当x＜0时，f（x）=x（a-x）＜π恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．

解答 解：若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+cosx，x≥0}\\{x（a-x），x＜0}\end{array}\right.$若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（-∞，$\frac{π}{2}$），
则当x＜0时，f（x）=x（a-x）＜π恒成立，
即a＞$\frac{π}{x}+x$在x＜0时恒成立，
令g（x）=$\frac{π}{x}+x$，则当x=-$\sqrt{π}$时，g（x）取最大值-2$\sqrt{π}$，
故a＞-2$\sqrt{π}$，
故答案为：a＞-2$\sqrt{π}$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，对勾函数的图象和性质，难度中档．