已知双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别是F1、F2,动点P满足|PF1|+|PF2|=4.
(1)求动点P的轨迹E的过程.
(2)设过点F2且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点,试问在y轴上是否存在一点D使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?若存在,试判断点D的活动范围:若不存在,试说明理由.
分析:(1)双曲线的方程可化为
-y
2=1,则|FF
2|=2
,|PF
1|+|PF
2|=4>|FF
2|,由此知点P的轨迹E是以F
1,F
2为焦点且长轴长为4的椭圆,并能求出其方程.
(2)假设存在满足条件的点D(0,m),设直线a的方程为y=k(x-
),代入椭圆方程得:(1+4k
2)x
2-8
k
2x+12k
2-4=0,再由韦达定理结合分类讨论思想能够推导出满足条件的点D存在,其活动范围是满足-
≤y≤
且y≠0的区域.
解答:解:(1)双曲线的方程可化为
-y
2=1,则|FF
2|=2
,|PF
1|+|PF
2|=4>|FF
2|,
所以点P的轨迹E是以F
1,F
2为焦点且长轴长为4的椭圆,其方程为
+y
2=1.(3分)
(2)假设存在满足条件的点D(0,m),设直线a的方程为y=k(x-
)(k≠0)
代入椭圆方程得:(1+4k
2)x
2-8
k
2x+12k
2-4=0,
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由韦达定理得:x
1+x
2=
,y
1+y
2=k(x
1+x
2-2
)=
=(x
1,y
1-m),
=(x
2,y
2-m),
+=( x
1+x
2,y
1+y
2-2m),(6分)
又
=λ(1,k) (λ=x
2-x
1),
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形,∴(
+
)⊥
∴(
+
)•
=0,即
+
-2mk=0,整理得:
-2mk=0,(8分)
∵k≠0,∴m=
=
若k>0,则
≤
(当且仅当k=
时取等号),即m∈(0,
](10分)
若k<0,则
≥-
(当且仅当k=-
时取等号),即m∈[-
,0)(11分)
综上,满足条件的点D存在,其活动范围是满足-
≤y≤
且y≠0的区域.
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.