Question

13．设数列{a_n}前n项和S_n，且，令S_n=2a_n-2b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），可得：a_n=2a_n-1．
当n=1时，a₁=S=2a₁-2，解得a₁=2．
由等比数列的定义知，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）证明：b_n=log₂a_n=n．
${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
以上等式两边同乘以$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$＜2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．