Question

2．如图，设F（-c，0）是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点，点P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）是x轴上的一点，点M，N为椭圆的左、右顶点，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P作直线l交椭圆于A，B两点，试判定直线AF，BF的斜率之和k_AF+k_BF是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由2a=8，$\frac{{a}^{2}}{c}$-a=2（a-c），即可求得c的值，则b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（2）当直线斜率不存在时，k_AF=k_BF=0，当直线l的斜率不为0，代入椭圆方程由韦达定理及直线的斜率公式即可求得k_AF+k_BF=0为定值，

解答 解：（1）由2a=丨MN丨=8，则a=4，|PM|=2|MF|，则$\frac{{a}^{2}}{c}$-a=2（a-c），即a²-3ac+2c²=0，
整理得：c²-6c+8=0，解得：c=2或c=4（舍去），
∴b²=a²-c²=12，
椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）当直线l的斜率为0，显然k_AF=k_BF=0，则k_AF+k_BF=0，
当直线l的斜率不为0，直线x=my-8，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-8}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0，
则△=（-48m）²-4×144（3m²+4）=576（m²-4）＞0，解得：m＞2或m＜-2，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则y₁+y₂=$\frac{48m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{144}{3{m}^{2}+4}$，
则k_AF+k_BF=$\frac{{y}_{A}}{{x}_{A}+2}$+$\frac{{y}_{B}}{{x}_{B}+2}$=$\frac{{y}_{A}}{（m{y}_{A}-6）}$+$\frac{{y}_{B}}{m{y}_{B}-6}$，
=$\frac{{y}_{A}（m{y}_{B}-6）+{y}_{B}（m{y}_{A}-6）}{（m{y}_{A}-6）（m{y}_{B}-6）}$=$\frac{2m{y}_{A}{y}_{B}-6（{y}_{A}+{y}_{B}）}{（m{y}_{A}-6）（m{y}_{B}-6）}$，
由2my_Ay_B-6（y_A+y_B）=2m×$\frac{144}{3{m}^{2}+4}$-6×$\frac{48m}{3{m}^{2}+4}$=0，
∴k_AF+k_BF=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线斜率公式，考查计算能力，属于中档题．