Question

11．数列{a_n}，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）
（I）求证数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）若b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求证数列{b_n}为递减数列．

Answer 1

分析 （I）a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，即可证明{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列．
（II）由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，a_n=n•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（III）b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{n•{2}^{n}}$＞0，作商可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2{n}^{2}+n}{2（2{n}^{2}+n-1）}$，再作差即可得出．

解答 （I）证明：∵a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，首项为1，公差为1．
（II）解：由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，∴a_n=n•2ⁿ．
∴S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（III）证明：b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{n•{2}^{n}}$＞0，b_n+1=$\frac{2n+1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{（2n+1）n}{（2n-1）（n+1）×2}$=$\frac{2{n}^{2}+n}{2（2{n}^{2}+n-1）}$．
又2（2n²+n-1）-（2n²+n）=2n²+n-2＞0．
∴2（2n²+n-1）＞2n²+n＞0．
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$＜1，可得b_n+1＜b_n．
∴数列{b_n}为递减数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、作差方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．