Question

16．已知a为常数，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x（其中e是自然数对数的底数）．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x₀，y₀）为，求x₀的值；
（2）令$F（x）=\frac{f（x）}{g（x）}$，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对函数求导，f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$，可得切线的斜率k=2x₀+a-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{ax}_{0}-l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，即x02+lnx0-1=0，由x₀=1是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，可证
（2）由F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}+ax-lnx}{{e}^{x}}$，求出函数F（x）的导数，通过研究2-a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$（x＞0），
过切点P（x₀，y₀）的切线的斜率k=2x₀+a-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{ax}_{0}-l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，
整理得x02+lnx0-1=0，
显然，x₀=1是这个方程的解，又因为y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程x²+lnx-1=0有唯一实数解．故x₀=1；
（2）F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}+ax-lnx}{{e}^{x}}$，F′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
设h（x）=-x2+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，则h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2-a；
①当2-a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意；            
②当2-a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x₀，
则h（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减；
又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，
与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合①②得，a≤2．

点评 考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．