Question

4．已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（1）求f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：曲线y=f（x）与直线y=ex有唯一公共点．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率、切点坐标，即可求出f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设g（x）=e^x-ex，曲线y=e^x与y=ex的公共点的个数等于函数g（x）=e^x-ex零点的个数．

解答 （1）解：∵f′（0）=e⁰=1，f（0）=1，∴切线方程为y-1=1•（x-0），即x-y+1=0．
（2）证明：设g（x）=e^x-ex，曲线y=e^x与y=ex的公共点的个数等于函数g（x）=e^x-ex零点的个数．
∵g′（x）=e^x-e，令g′（x）=0，得x=1，
∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）的最小值g（1）=e¹-e=0，
g（x）=e^x-ex≥0（仅当x=1时，等号成立）．
∴曲线y=f（x）与直线y=ex有唯一公共点．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确构造函数是关键．