Question

9．已知函数$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$
（1）求函数的定义域并判断其单调性；
（2）解关于x的不等式f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用真数大于0求函数的定义域，利用复合函数判断其单调性；
（2）关于x的不等式f（2x-1）＜0，转化为对数不等式，即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1-x}{1+x}＞0?（1-x）（1+x）＞0?-1＜x＜1$，
则定义域为（-1，1）…（3分）
f（x）由y=lgt与$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$复合而成，y=lgt为增函数，
$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上是减函数，
则函数$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上为减函数…（7分）
（2）$f（2x-1）＜0?lg\frac{1-（2x-1）}{1+2x-1}=lg\frac{1-x}{x}＜0$，
即$0＜\frac{1-x}{x}＜1$，
∴$0＜\frac{1}{x}-1＜1⇒1＜\frac{1}{x}＜2⇒\frac{1}{2}＜x＜1$…（12分）

点评 本题考查对数函数的性质，考查对数不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．