Question

20．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且2sinB（ccosB+bcosC）=$\sqrt{3}$b
（1）求角A的大小
（2）若a=b，b+c=8，求△ABC的面积
（3）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可求sinA，结合A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解；
（2）由已知及三角形内角和定理可求B，C的值，进而可求a，b，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
（3）由三角形的内角和定理及A的度数，表示出B+C的度数，用B表示出C，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答 解：（1）∵2sinB（ccosB+bcosC）=$\sqrt{3}$b，
∴利用正弦定理可得：2sinB（sinCcosB+sinBcosC）=$\sqrt{3}$sinB，
又∵sinB≠0，可得：2sin（B+C）=2sinA=$\sqrt{3}$，解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，
∴可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，a=b，b+c=8，
∴B=A=C=$\frac{π}{3}$，可得：a=b=c=4，
∴S_ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
（3）∵A+B+C=π，A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}$-B，
则sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B，C为三角形的内角，且A=$\frac{π}{3}$，
∴0＜$\frac{2π}{3}$-B＜$\frac{π}{2}$，即 $\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴sinB+sinC的取值范围是（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基本知识的考查．