Question

5．已知A，B分别为椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当$\frac{a}{b}+3\sqrt{mn}$取最小值时，椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意设P和Q点坐标，代入椭圆方程利用椭圆的离心率公式即可求得mn的值，利用基本不等式的关系，即可求得a和b的关系，利用椭圆的离心率即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），y₀²=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{a}^{2}}$．
A（-a，0），B（a，0），
则m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
∴mn=（$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$）（-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$）=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{a}{b}+3\sqrt{mn}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{3b}{a}}$=2$\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{3b}{a}$，即a=$\sqrt{3}$b时，等号成立，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查椭圆的离心率公式，直线的斜率公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．