Question

15．已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若$x=-\frac{1}{3}$是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）设函数g（x）=f（x）-bx，在（1）的条件下，若函数g（x）恰有3个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出a的值，再确定函数f（x）在[1，a]上的单调性，即可求函数f（x）在[1，a]上的最大值．
（2）函数g（x）有3个零点?方程f（x）-bx=0有3个不相等的实根，即方程x³-4x²-3x=bx有3个不等实根．x=0是其中一个根，只需满足方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，即可得出结论．

解答 解：（1）依题意，f′（-$\frac{1}{3}$）=0，
即$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x．
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=3．
则当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6	减	-18	增	-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（2）函数g（x）有3个零点?方程f（x）-bx=0有3个不相等的实根．
即方程x³-4x²-3x=bx有3个不等实根．
∵x=0是其中一个根，
∴只需满足方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3-b≠0}\\{16-4（-3-b）＞0}\end{array}\right.$，∴b＞-7且b≠-3，
故实数b的取值范围是b＞-7且b≠-3．

点评 本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，正确运用导数是关键．