Question

3．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=2$\sqrt{3}$，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BDC₁；
（2）求三棱锥D₁-C₁BD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，由底面ABCD为菱形，得AC⊥BD，再由已知直四棱柱可得CC₁⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC₁A₁，进一步得到平面ACC₁A₁⊥平面BDC₁；
（2）由已知求出三角形DD₁C₁的面积，过点B作BH⊥CD交CD于H，则BH为三棱锥B-DD₁C₁的高，求出BH，再由等积法求得三棱锥D₁-C₁BD的体积．

解答 （1）证明：连接AC交BD于O，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，∴CC₁⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BDC₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面BDC₁；
（2）解：由题知${V_{{D_1}-{C_1}BD}}={V_{B-D{D_1}{C_1}}}$，
又${S_{△D{D_1}{C_1}}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4=4\sqrt{3}$，
过点B作BH⊥CD交CD于H，则BH为三棱锥B-DD₁C₁的高，且$BH=4sin60°=2\sqrt{3}$．
∴${V_{{D_1}-{C_1}BD}}={V_{B-D{D_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×4\sqrt{3}=8$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．