Question

8．设f（x）是R上的偶函数，对?x∈R都有f（2+x）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=-x²+1；当x∈（1，2]时，f（x）=x-2．则f（x）=0的在[-1，5]上的所有根的和为10．

Answer 1

分析 由f（x+2）=-f（x），可知f（x）是周期为4的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=-x²+1，可得函数在[-1，5]上的解析式，令f（x）=0，求出函数的根，求和即可．

解答 解：∵对任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=f（x），
故f（x）是周期为4的周期函数．
∵函数f（x）是偶函数，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1，
即x∈[-1，1]时，f（x）=-x²+1，①，
令-x²+1=0，解得：x=±1；
当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
此时f（x）=-f（x-2）=-[-（x-2）²+1]=（x-2）²-1，②，
令（x-2）²-1=0，解得：x=0或x=2；
3≤x≤5时，-1≤x-4≤1，
此时f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1，③，
令-（x-4）²+1=0，解得：x=3或5，
故f（x）在[-1，5]上所有的根是：-1，0，1，2，3，5，
和是10，
故答案为：10．

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，根据条件求出函数的周期性，利用函数函数的零点与方程的根的关系是解决本题的关键，体现了转化、数形结合的数学思想．