Question

12．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-4{y^2}=1（{a＞0}）$的右顶点到其一条渐近线的距离等于$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，抛物线E：y²=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l₁：4x-3y+6=0和l₂：x=-1的距离之和的最小值为2．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a，进而得到c，由抛物线的焦点坐标，可得p=2，进而得到抛物线的方程．连接MF，过点M作MA⊥l₁于点A，作MB⊥准线x=-1于点C．由抛物线的定义，得到d₁+d₂=MA+MF，再由平面几何知识可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到所求距离的最小值．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-4{y^2}=1（{a＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{x}{2a}$，
右顶点（a，0）到其一条渐近线的距离等于$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
可得$\frac{a}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
解得a=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即有c=1，
由题意可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
即有抛物线的方程为y²=4x，
如图，过点M作MA⊥l₁于点A，
作MB⊥准线l₂：x=-1于点C，
连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，
设M到l₁的距离为d₁，M到直线l₂的距离为d₂，
∴d₁+d₂=MA+MC=MA+MF，
根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．
∵F（1，0）到直线l₁：4x-3y+6=0的距离为$\frac{|4-0+6|}{\sqrt{16+9}}$=2．
∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为2．
故答案为2．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程和性质，给出抛物线和直线l₁，求抛物线上一点到准线的距离与直线l₁距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．