Question

4．已知{a_n}为各项都为正数的等比数列，a₁=1，a₅=256，Sn为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=2，5S₅=2S₈
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，
（2）利用错位相减法求数列T_n的前n项和．

解答 解：（1）∵{a_n}为各项都为正数的等比数列，a₁=1，a₅=256，
∴q⁴=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=256=4⁴，
∴q=4，
∴a_n=4^n-1，
∵S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=2，5S₅=2S₈，
∴5（10+$\frac{5×（5-1）}{2}$×d）=2（16+$\frac{8×（8-1）}{2}$×d），
∴d=3，
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1，
（2）∵a_nb_n=（3n-1）•4^n-1，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2•4⁰+5•4¹+8•4²+…+（3n-1）•4^n-1，①
4S_n=2•4¹+5•4²+8•4³+…+（3n-4）•4^n-1+（3n-1）•4ⁿ，②
①-②可得，
-3S_n=2+3（4¹+4²+4³+…+4^n-1）-（3n-1）•4ⁿ
=2+3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-1）•4ⁿ=-2+（2-3n）•4ⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{3}$（3n-2）•4ⁿ+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等差等比数列的通项公式的求法及错位相减法求和，属于中档题．