Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数，p＞0），在极坐标系（以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C₂：ρ²-10ρcosθ+16=0，已知斜率为1的直线l与C₁相交于A，B两点，与C₂相切于点M，且M为线段AB的中点．则p的值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 参数方程、极坐标方程化为普通方程，利用点差法，求出M的坐标，代入圆的方程，即可求出p的值．

解答 解：曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数，p＞0），普通方程为y²=2px，
曲线C₂：ρ²-10ρcosθ+16=0，普通方程为（x-5）²+y²=9，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），
当l的斜率=1时，利用点差法可得y₀=p，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-1，所以x₀=5-p，
∴M（5-p，p）
代入（x-5）²+y²=9，∴p=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．