Question

6．已知直线l过点P（2，0），斜率为$\frac{4}{3}$，直线l和抛物线y²=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）点M的坐标；
（2）线段AB的长|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y²=2x中，得到关于t的一元二次方程，设这个一元二次方程的两个根为t₁、t₂，得到根与系数的关系，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，即可求出点M的坐标；
（2）利用弦长公式|AB|=|t₂-t₁|，即可得出．

解答 解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为$\frac{4}{3}$，
设直线的倾斜角为α，tanα=$\frac{4}{3}$，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）（*）
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，且△=15²+4×8×50＞0，
设这个一元二次方程的两个根为t₁、t₂，
由根与系数的关系，得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，
因为中点M所对应的参数为$\frac{15}{16}$，
将此值代入直线l的参数方程的标准形式中，得M（$\frac{41}{16}$，$\frac{3}{4}$）．
（2）|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}-4×（-\frac{25}{4}）}$=$\frac{5}{8}\sqrt{73}$．

点评 本题考查了直线的参数方程的应用、参数的几何意义、中点坐标公式、弦长公式，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．