Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P是圆x²+y²=2上的点，过P作圆的切线交椭圆于M，N两点，求△OMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由离心率为e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，则3a²=4b²，菱形面积S=2ab=4$\sqrt{3}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由于点P位于圆上，因此△OMN的高恒为定值r，将求解△OMN面积的最小值转化为求解丨MN丨的最小值．首先考虑切线斜率存在的情况，联立直线和椭圆方程后，利用韦达定理表示丨MN丨，通过切线性质消去一个参数后，利用函数的单调性确定丨MN丨的最小值；再考虑斜率不存在时的特殊情况下丨MN丨的取值，从而确定丨MN丨的最小值，即可确定△OMN面积的最小值．

解答 解：（1）椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则3a²=4b²，
又∵菱形面积S=2ab=4$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
当切线与x轴不垂直时，
设切线方程l：y=kx+m（m≠0），
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
根据韦达定理，x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
x₁+x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由弦长公式可知：
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$，
化简得：丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{192{k}^{2}+144-48{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
由直线y=kx+m与圆x²+y²=2相切，故$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即m²=2（k²+1），将其代入①式得：
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{96{k}^{2}+48}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²（t≥3），则k²=$\frac{t-3}{4}$，
则丨MN丨=$\sqrt{1+\frac{t-3}{4}}$•$\sqrt{\frac{24（t-3）+48}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{6}$•$\sqrt{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$≥$\sqrt{6}$•$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
当且仅当t=3时，即k=0时，等号成立，
当斜率不存在时，x²=2，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
求得丨MN丨=$\sqrt{6}$＞$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故当k=0时，丨MN丨取得最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
又S_△OMN=$\frac{1}{2}$|MN丨•r，r为定值$\sqrt{2}$，
故丨MN丨取得最小值时，S_△OMN也取得最小值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
此时k=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及单调性的综合应用，考查计算能力，属于中档题．