Question

1．有下列四个命题：
（1）若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β；
（2）若函数y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，则a=$\frac{1}{2}$；
（3）函数y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$是奇函数；
（4）函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是增函数．
（5）函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sin xcos x在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值是$\frac{3}{2}$．
其中正确命题的序号为（4）（5）．

Answer 1

分析 举例说明（1）错误；由周期公式求得a值说明（2）错误；由奇函数的定义说明（3）错误；利用诱导公式变形后结合余弦函数的图象说明（4）正确；利用降幂公式化简，求出函数的值域说明（5）正确．

解答 解：（1）若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β，错误，如α=390°，β=60°，390°＞60°，但sin390°＜sin60°；
（2）若函数y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，则$\frac{2π}{|a|}=4π$，得a=±$\frac{1}{2}$，故（2）错误；
（3）函数y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$的定义域为{x|x≠$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z}，不关于原点对称，∴函数是非奇非偶函数，故（3）错误；
（4）函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，在[0，π]上是增函数，故（4）正确；
（5）函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sin xcos x=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，2x$-\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}$]，则f（x）∈[1，$\frac{3}{2}$]，故（5）正确．
故答案为：（4）（5）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，是中档题．