Question

13．已知数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*均有a_n+1=ka_n+2k-2，其中k为不等于0与1的常数，若a_i∈{-272，-32，-2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a₁所有可能值的和为$\frac{2402}{3}$．

Answer 1

分析 依题意，可得a_n+1+2=k（a_n+2），再对a₁=-2与a₁≠-2讨论，特别是a₁≠-2时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a₁所有可能值，从而可得答案．

解答 解：∵a_n+1=ka_n+2k-2，
∴a_n+1+2=k（a_n+2），
∴①若a₁=-2，则a₁₊₁+2=k（a₁+2）=0，a₂=-2，同理可得，a₃=a₄=a₅=-2，即a₁=-2复合题意；
②若a₁≠-2，k为不等于0与1的常数，则数列{a_n+2}是以k为公比的等比数列，
∵a_i∈{-272，-32，-2，8，88，888}，i=2，3，4，5，
a_n+2可以取-270，-30，10，90，
∴若公比|k|＞1，则k=-3，由a₂+2=10=-3（a₁+2）得：a₁=-$\frac{16}{3}$；
若公比|k|＜1，则k=-$\frac{1}{3}$，由a₂+2=-270=-$\frac{1}{3}$（a₁+2）得：a₁=808．
综上所述，满足条件的a₁所有可能值为-2，-$\frac{16}{3}$，808．
∴a₁所有可能值的和为：-2$-\frac{16}{3}+808$=$\frac{2402}{3}$．
故答案为：$\frac{2402}{3}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，对a_n+1+2=k（a_n+2）的理解与应用是难点，对公比k分|k|＞1与|k|＜1讨论是关键，考查逻辑思维与推理运算能力，属于难题．