Question

3．已知F是双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦点，P是C左支上一点，$A（{0，6\sqrt{6}}）$，当△APF周长最小时，点P的纵坐标为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得△PFA周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，考虑P在左支上运动到与A，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的左焦点为F'，
由双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$可得a=1，b=2$\sqrt{2}$，c=3，
即有F（3，0），F'（-3，0），
△PFA周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，
当P在左支上运动到A，P，F'共线时，|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|，则有△APF周长取得最小值，
直线AF′的方程为$\frac{x}{-3}+\frac{y}{6\sqrt{6}}$=1，与双曲线方程联立，得到点P的纵坐标为2$\sqrt{6}$，
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形的周长的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最小值，考查运算能力，属于中档题．