Question

3．讨论f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$（a＞1）的单调性．

Answer 1

分析 求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，对a分类得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判出导函数在各区间段内的符号，由此求得原函数的单调区间．

解答 解：函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$的定义域为（-1，+∞）．
由f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$（a＞1），得
f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{a（x+a）-ax}{（x+a）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}-\frac{{a}^{2}}{（x+a）^{2}}$
=$\frac{{x}^{2}+2ax+{a}^{2}-{a}^{2}x-{a}^{2}}{（x+1）（x+a）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（2a-{a}^{2}）x}{（x+1）（x+a）^{2}}$．
∵a＞1，
∴a=2时，f′（x）≥0，函数f（x）为（-1，+∞）上的增函数；
当a＞2时，a²-2a＞0，
当x∈（-1，0），（a²-2a，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，a²-2a）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-1，0），（a²-2a，+∞）上为增函数，在（0，a²-2a）上为减函数；
当1＜a＜2时，-1＜a²-2a＜0，
当x∈（-1，a²-2a），（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（a²-2a，0）时，f′（x）＜0．∴
∴f（x）在（-1，a²-2a），（0，+∞）上为增函数，在（a²-2a，0）上为减函数．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，正确分类是解答该题的关键，是中档题．