Question

2．已知直线l₁：ax+y=1，l₂：2x-（1-a）y=3a，圆C：（x-4）²+（y-3）²=8．
（1）当l₁∥l₂时，求实数的a值；
（2）设直线 l₂与圆C相交于A、B两点，当△ABC的面积最大时，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）利用两条直线平行的条件，建立方程，即可求实数的a值；
（2）当△ABC的面积最大时，AC⊥BC，利用C到直线的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}$=2，建立方程，即可求直线l₂的方程．

解答 解：（1）∵直线l₁：ax+y=1，l₂：2x-（1-a）y=3a，l₁∥l₂，
∴$\frac{a}{2}=\frac{1}{-（1-a）}=\frac{1}{3a}$，
∴a=-1或a=2；
（2）当△ABC的面积最大时，AC⊥BC，
∴C到直线的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}$=2，
∴$\frac{|8-3（1-a）-3a|}{\sqrt{4+（1-a）^{2}}}$=2，
∴a=$\frac{5}{2}$或a=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l₂的方程为4x+3y-15=0或4x-3y+3=0．

点评 本题考查两条直线平行的条件的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．