【题目】已知,
为常数,且
,
,
.
(I)若方程有唯一实数根,求函数
的解析式.
(II)当时,求函数
在区间
上的最大值与最小值.
(III)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(I); (II)
;
; (III)
.
【解析】
(I)根据方程ax2+(b-1)x=0有唯一解,以及列方程求解即可;(II)根据二次函数的性质,函数的单调性,即可求得求得最值,(III)分离参数,构造函数,求出函数的最值即可.
∵,∴
,∴
.
(I)方程有唯一实数根,
即方程有唯一解,
∴,解得
∴
(II)∵ ,
∴,
,
若 ,
若 .
(III)解法一、当时,不等式
恒成立,
即:在区间
上恒成立,
设,
显然函数在区间
上是减函数,
,
当且仅当时,不等式
在区间
上恒成立,
因此 .
解法二:因为当时,不等式
恒成立,
所以时,
的最小值
,
当时,
在
单调递减,
恒成立,
而,
所以时不符合题意.
当时,
在
单调递增,
的最小值为
,
所以,即
即可,
综上所述,.
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【题目】已知函数.
(1)利用“五点法”画出函数在一个周期
上的简图;
(2)先把的图象上所有点向左平移
个单位长度,得到
的图象;然后把
的图
象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象;再把
的图象
上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到
的图象,求
的解析式.
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【题目】盒中装有个零件,其中
个是使用过的,另外
个未经使用.
(1)从盒中每次随机抽取个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求
次抽取中恰有
次抽到使用过的零件的概率;
(2)从盒中随机抽取个零件,使用后放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为
,求
的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2 .
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中,直线
的参数方程为
,(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设点是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离
的取值范围.
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【题目】已知正△ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则
的取值范围是( )
A.[0,6]
B.[﹣2,6]
C.[0,2]
D.[﹣2,2]
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【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)上的点到右焦点F的最小距离是
﹣1,F到上顶点的距离为
,点C(m,0)是线段OF上的一个动点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得( +
)⊥
,并说明理由.
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