Question

已知函数f（x）=lnx+x²+ax．
（I）当a=-4时，求方程f（x）+x²=0在（1，+∞）上的根的个数；
（II）若f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把a=-4代入，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，求导数可知g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，结合零点的存在性定理可得结论；
（II）由题意只需g′（x）在（0，+∞）上恰有两个互不相等的零点即可，进而可得

- a 2 ＞0 △=a2-8＞0

，解之即可．

解答：解：（I）当a=-4时，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，
只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，
由g′（x）=

1

x

+4x-4=

(2x-1)2

x

在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在区间（1，+∞）上恰有1个零点；
（II）由题意可得g′（x）=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

在（0，+∞）上恰有两个互不相等的零点即可，
只需对分子上的二次函数有

- a 2 ＞0 △=a2-8＞0

，解得a＜-2

2

点评：本题考查用导数工具研究函数的极值，涉及二次函数的性质，属中档题．