Question

已知函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 求函数f（x）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）设t=3+2x-x²，则．
由t=3+2x-x²＞0得x²-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，解得-1＜x＜3．
因为t=-（x-1）²+4，所以抛物线的对称轴为x=1．
当x∈（-1，1]时，t是x的增函数，y是t的减函数；
当x∈[1，3）时，t是x的减函数，y是t的减函数．
所以，函数f（x）的单调递增区间为[1，3），单调递减区间为（-1，1]．
（Ⅱ）如图：
由（Ⅰ）知t=-（x-1）²+4，当x=1时，t_max=4．
又因为y=log₂t在（0，4]上是减函数，
所以当t_max=4时，．
故函数f（x）的值域为[-2，+∞）．
分析：（Ⅰ）设t=3+2x-x²，则．求出f（x）的定义域，先研究t，y的单调性，再根据复合函数单调性的判定方法即可求得f（x）的单调区间，注意定义域；
（Ⅱ）在f（x）的定义域内先求函数t=-（x-1）²+4的值域，再结合为y=log₂t的单调性即可求得f（x）的值域；
点评：本题考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质及函数值域的求解，属中档题，判断复合函数单调性的方法：“同增异减”．