Question

17．已知函数f（x）=xe^x+ax²+2x+1在x=-1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于xe^x+x²+2x=m在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe^x+x²+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x+xe^x+2ax+2，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，
∴f（x）=xe^x+x²+2x+1，f'（x）=（x+1）（e^x+2），
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）递减；
当x∈（-1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）递增．
（2）函数y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点，
等价于xe^x+x²+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根，
等价于xe^x+x²+2x=m在[-2，2]上恰有两个不同的实根．
令g（x）=xe^x+x²+2x，∴g'（x）=（x+1）（e^x+2），
由（1）知g（x）在（-∞，-1）递减；  在（-1，+∞）递增．
g（x）在[-2，2]上的极小值也是最小值；
$g{（x）_{min}}=g（-1）=-\frac{1}{e}-1$．
又$g（-2）=-\frac{2}{e^2}$，g（2）=8+2e²＞g（-2），
∴$-\frac{1}{e}-1＜m≤-\frac{2}{e^2}$，即$m∈（-\frac{1}{e}-1，-\frac{2}{e^2}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．