Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=

ax+1，x≤0 log2x，x＞0

，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（　　）

A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点

B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点

C．无论a为何值，均有2个零点

D．无论a为何值，均有4个零点

Answer 1

分析：因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数

解答：解：分四种情况讨论．
（1）x＞1时，log₂x＞0，∴y=f（f（x））+1=log₂（log₂x）+1，此时的零点为

2

（2）0＜x＜1时，log₂x＜0，∴y=f（f（x））+1=alog₂x+1，则a＞0时，有一个零点，a＜0时，没有零点，
（3）若x＜0，ax+1≤0时，y=f（f（x））+1=a²x+a+1，则a＞0时，有一个零点，a＜0时，没有零点，
（4）若x＜0，ax+1＞0时，y=f（f（x））+1=log₂（ax+1）+1，则a＞0时，有一个零点，a＜0时，没有零点，
综上可知，当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点
故选A

点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式．