Question

12．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）在E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过P作x轴的垂线交x轴于Q，过Q的直线交椭圆E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：2c=2，c=1，a²=b²+c²=b²+1，将P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设AB的方程为：y=k（x-$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{6{k}^{2}+9}}{3+4{k}^{2}}$，△AOB面积的S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨，设S=t，则t²=3-$\frac{27}{16{k}^{4}-124{k}^{2}+9}$，则k不存在时，即AB⊥x轴时，t²取最大值，△AOB面积的最大值$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由题意可知：|F₁F₂|=2，即2c=2，c=1，
由a²=b²+c²=b²+1，
由P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）在E上，则$\frac{2}{{b}^{2}+1}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，a²=4，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）过P作x轴的垂线交x轴于Q，则Q（$\sqrt{2}$，0），
设AB的方程为：y=k（x-$\sqrt{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8$\sqrt{2}$k²x+8k²-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{2}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{6{k}^{2}+9}}{3+4{k}^{2}}$，
O到直线AB的距离d=-$\frac{丨-\sqrt{2}k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
△AOB面积的S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=$\frac{2\sqrt{2}丨k丨\sqrt{6{k}^{2}+9}}{3+4{k}^{2}}$，
设S=t，则t²=3-$\frac{27}{16{k}^{4}-124{k}^{2}+9}$，
则k不存在时，即AB⊥x轴时，t²取最大值，
∴△AOB面积的最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．