Question

3．已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（3+x）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ 3+x＞0\end{array}\right.$得函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，则log_a4=-4，解得a的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ 3+x＞0\end{array}\right.$得：x∈（-3，1），
故函数f（x）的定义域为（-3，1），…6分
（2）函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（3+x）=log_a（-x²-2x+3），
∵0＜a＜1，
故当-x²-2x+3取最大值4时，函数f（x）取最小值为-4，
即log_a4=-4，
解得：$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…12分

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的最值及其几何意义，难度中档．