Question

20．已知倾斜角为45°的直线l过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦点，则l被椭圆所截的弦长是（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，则椭圆的右焦点（$\sqrt{3}$，0），
直线倾斜角为45°，斜率为1，设直线方程为y=x+m，椭圆两交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆右焦点（$\sqrt{3}$，0），解得：m=-$\sqrt{3}$，则直线方程为y=x-$\sqrt{3}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{5}{4}$x²-2$\sqrt{3}$x+2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
由弦长公式可知l被椭圆所截的弦长为丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$，
∴丨AB丨=$\frac{8}{5}$，
故选D．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．