Question

10．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，f（x+1）=f（x-1），则方程f（x）=$\frac{2x+1}{x}$在区间[-3，3]上的所有实根之和为（　　）

• A． 0
• B． -2
• C． -8
• D． 8

Answer 1

分析 可判断函数f（x）的周期为2，从而化简可得f（x）-2=$\frac{1}{x}$，作函数f（x）-2与y=$\frac{1}{x}$在[-3，3]上的图象，从而结合图象解得．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函数f（x）的周期为2，
∵f（x）=$\frac{2x+1}{x}$，
∴f（x）-2=$\frac{1}{x}$，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
∴f（x）-2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈[0，1]}\\{{-x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
作函数y=f（x）-2与y=$\frac{1}{x}$在[-3，3]上的图象如下，

易知点A与点C关于原点对称，
故方程f（x）=$\frac{2x+1}{x}$在区间[-3，3]上的所有实根之和为0，
故选：A．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用．