Question

【题目】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1 ， PF2交于M，N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点 的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，

∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵ ，

∴点M的轨迹C的方程为 ．

（2）直线l的方程可设为 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

由求根公式化简整理得 ，

假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则 即 ．

∵ ，

= = = ．

∴ 求得m=﹣1．

因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

【解析】（1）根据中垂线的性质不难得到动点到两定点的距离之和为定值，且定值大于这两定点的距离，可得出动点的运动轨迹为椭圆，结合已知可得到轨迹方程，（2）将直线l的方程可设为 y = k x +,设出A、B两点的坐标，联立直线方程与椭圆方程，使用韦达定理得出A、B横坐标的和与积，假设在y轴上存在定点Q（0，m），则表示出 ,，且·=0，可解得定点Q的坐标.