Question

在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为⊙M．
（1）如果⊙M半径为1，l与⊙M切于点，求直线l的方程；
（2）如果⊙M半径为1，证明当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一三角形；
（3）如果l的方程为，P为⊙M上任一点，求PA²+PB²+PO²的最值．

Answer 1

解：（1），（1分），．．
（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0.，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，，，（6分）
．当且仅当时，．
面积，
此时△AOB为直角边长为的等腰直角三角形．
周长．
此时△AOB为直角边长为的等腰直角三角形．
∴此时的△AOB为同一三角形．

（3）l的方程为，得，
⊙M：（x-1）²+（y-1）²=1，设P（m，n）为圆上任一点，
则：（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，，．=．
当时，．
此时，．
当时，．
此时，．
分析：（1）先求得圆心与切点连线的斜率再由两者互为负倒数求得．进而求得直线l的方程；
（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直线AB的方程为：：bx+ay-ab=0．圆心到该直线的距离为，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得，
．三角形面积，周长．取得最值的条件一致．所以△AOB为同一三角形．
（3）l的方程为，解得，P（m，n）为圆上任一点，=．
又因为（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，，所以代入上式求解即可．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，还考查了用解析法研究三角形面积，周长及线段长的最值问题，