Question

设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切斜线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2x+2，求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；
（Ⅱ）先求g（x）的表达式，再求出它的导数，令导数大于0或小于0求出单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），所以f（1）=0即1+a=0
即a=-1①，又f（x）在P点处的切斜线率为2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，所以f'（1）=2即1+2a+b=2②
将①代入②得b=3，故a=-1，b=3
（Ⅱ）g（x）=f（x）-2x+2=x-x²+3lnx-2x+2=-x²-x+3lnx+2（x＞0）
g'（x）=-2x-1+

3

x

=

-2x2-x+3

x

=

-(x-1)(2x+3)

x

由g'（x）＞0得-

3

2

＜x＜1又x＞0，所以0＜x＜1；由g'（x）＜0得x＞1．
故g（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．