Question

【题目】已知函数f（x）= x2+ax+1（a∈R）． （Ⅰ）当a= 时，求不等式f（x）＜3的解集；
（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣ a2﹣1＞0的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a= 时，不等式f（x）＜3，

即为 x2+ x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，

解得﹣ ＜x＜1，

则原不等式的解集为（﹣ ，1）；

（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，

即有 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，

即为﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，

由y= x+ 的导数为y′= ﹣ ，

可得函数y在（0， ）递减，（ ，2）递增，

则y= x+ 的最小值为2 = ，

即有﹣a＜ ，解得a＞﹣ ；

（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，

即为3x2+2ax﹣a2＞0，

即（x+a）（3x﹣a）＞0，

当a=0时，即为x2＞0，解集为{x|x≠0}；

当a＞0时， ＞﹣a，解集为{x|x＞ 或x＜﹣a}；

当a＜0时， ＜﹣a，解集为{x|x＜ 或x＞﹣a}．

【解析】（Ⅰ）化简为二次不等式的一般式，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，求出y= x+ 的导数，单调区间，可得最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，即为3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【考点精析】解答此题的关键在于理解解一元二次不等式的相关知识，掌握求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．