Question

已知函数f（x）=2sinxcos²

θ

2

+cosxsinθ-sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=

2

，f（A）=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于-1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；
（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于

3

2

，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinx

1+cosθ

2

+cosxsinθ-sinx
=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ-sinx
=sin（x+θ）．
因为　f（x）在x=π时取最小值，
所以　sin（π+θ）=-1，
故　sinθ=1．
又　0＜θ＜π，所以θ=

π

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
因为f（A）=cosA=

3

2

，
且A为△ABC的角，
所以A=

π

6

．
由正弦定理得　sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
又b＞a，
所以　B=

π

4

时，C=π-A-B=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

，
当B=

3π

4

时，C=π-A-B=π-

π

6

-

3π

4

=

π

12

．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的直正弦函数公式化简求值，灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道多知识的综合题．学生做题时应注意C的度数有两个解．