Question

如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI．
（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E；
（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长．

Answer 1

分析：（1）在△BCE中，利用三角形的内角和定理得到∠E与另外三个角的关系，再在△ABC中得出角α与另外三个角的关系，从而可得到∠E=α，
依据角平分线得到∠ECI是平角∠BCD的一半，是个直角，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解∠BIC．
（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解．

解答：解：（1）在△BCE中有：∠E=180°-∠BCE-∠CBE，
又∠ECI是平角∠BCD的一半，∴∠ECI=90°，
∴：∠E=90°-∠BCI-∠CBE，
在△ABC中：

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）
=90°--∠BCI-∠CBE，
∴∠E=α．
在三角形∠BIC=90°+α，∠E=α
（2）①当△ABC∽△ICE时，∠ABC=∠ICE=90°，∠ACB=∠IEC=α，
所以α=30°，AC=2
②当△ACB∽△ICE时，∠ACB=∠ICE=90°，∠ABC=∠IEC=α，
所以α=30°，AC=

1

2

．
③当△BAC∽△ICE时，∠BAC=∠ICE=90°，∠IEC=

1

2

∠BAC=45°，
所以∠ABC=∠ACB=45°，AC=AB=1．

点评：两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．